ISOMORFISMA
Definisi
Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari G ke G’ dan untuk setiap x dan y di G berlaku
(xy)φ = (x φ)(y φ)
Langkah-langkah menunjukkan dua grup (G dan G’) isomorf
Langkah 1
Definisikan fungsi φ yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G’. Ini berarti kita harus mendeskripsikan (dengan cara tertentu) berupa apa x φ di G untuk semua x di G.
Langkah 2
Tunjukkan φ satu-satu
Langkah 3
Tunjukkan φ pada
Langkah 4
Tunjukkan (xy) φ = (x φ)(y φ)
Teorema-Teorema yang Berkaitan dengan Isomorfisma
Teorema 1
Jika φ: G→G’ suatu isomorfisma dari G ke G’, dan e adalah identitas dari G maka e φ identitas dari G’. Dan juga
a-1 φ = (a φ)-1 untuk semua aG
Dalam bahasa indonesia maksudnya adalah suatu isomorfisma memetakan identitas ke identitas dan invers ke invers.
Teorema 2
Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan Z, grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.
Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf
Suatu struktur dari sebuah grup mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Berikut ini akan ditunjukkan mana yang dimaksud dengan struktur suatu grup dan nonstruktur dari suatu grup.
Struktur dari suatu grup
- Grupnya siklik
- Grupnya komutatif
- Order grup 8
Nonstruktur dari suatu grup
- Grup memuat 5
- Semua elemen dari grup adalah angka
- Grup ini subgrup dari (R, +)
Contoh grup yang isomorfisma
Φ : Z→2Z, dengan Φ(n)= 2n untuk setiap nZ
- Jika Φ(m)= Φ (n)
2m=2n
m=n
jadi Φ satu-satu
- Jika n2Z, maka n genap
N=2m
M= n/2 z
Φ(m)= 2 (n/2)=n
Jadi Φ pada
- Ambil m, n Z sebarang
Φ(m+n)=2 (m+n)
= 2m+2n
= Φ(m) + Φ(n)
Contoh Grup yang tidak isomorfisma
Z dan Q tidak isomorf, karena Z siklik sementara Q tidak siklik.
