august_tynz poenyaa

GRUP SIKLIK

June 17, 2010 at 11:06 pm (MATHEMATIC)

Definisi

- Terhadap perkalian

Grup  (G,  .)  disebut  siklik,  bila  ada  elemen  a  ∈  G  sedemikian  hingga

G ={aⁿ| n ∈ Z}. Elemen a disebut pembangun dari grup siklik tersebut. Dinotasikan

<a> = H

- Terhadap penjumlahan

Grup  (G,+)  disebut  siklik,  bila  ada  elemen  a  ∈  G  sedemikian  hingga

G ={na | n ∈ Z}.

Jadi, dalam bahasa indonesianya, grup siklik adalah  suatu  orde  dari

suatu  grup  yang  setiap  unsurnya  dapat  ditulis  sebagai  perpangkatan

(positif  atau  negetif)  atau  perkalian  dari    suatu  unsur  tetap  dari  Grup

Tersebut, dengan kata lain grup siklik adalah grup yang dibangun oleh satu unsur.

Jika G grup dan a   G maka

• |a| infinite  semua pangkat yang berbeda dari a menunjukkan elemen yang berbeda dari G.
• |a|=n  <a>= {e,a¹, a²,a³,…a^n-1} dan aⁱ=a^j jika dan hanya jika i=j

Menentukan Pembangun Grup Siklik

Mari kita perhatikan contoh berikut

Contoh 1

Misalkan pada Z₄ terhadap operasi perkalian dimana anggotanya adalah 0, 1, 2, 3.

Kita dapatkan

<1> = {0, 1, 2, 3}

<2> = {0, 2}

<3> = {0, 1, 2, 3}

Jadi pembangunnya adlah 1 dan 3, sedangkan 0 adadalah subgrup trivial dan Z₄ sendiri subgrup sejati (telah dibahas sebelumnya pada pokok bahasan grup).

Contoh 2

Misalkan pada Z₅ terhadap operasi perkalian dimana anggotanya adalah 0, 1, 2, 3, 4

Kita dapatkan

<1> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

<2> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

<3> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

<4> = {0, 1,2 ,3 ,4, 5}

Jadi pembangunnya adlah 1, 2, 3 dan 4, sedangkan 0 adadalah subgrup trivial dan Z₅ sendiri subgrup sejati (telah dibahas sebelumnya pada pokok bahasan grup).

Dari kedua contah diatas, dapat disimpulkan bahwa tidak semua anggota dari Grup Siklik itu dapat dikatakan sebagai pembangunnya.

Teorema, Lemma, dan Akibat yang Berkaitan dengan Grup Siklik

Teorema 1

Setiap Grup Siklik adalah Abelian.

Bukti :

Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari

G, sehingga G ={aⁿ| n ∈ Z}.

Ambil x, y ∈ G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n ∈ Z.

x . y      = a^m . aⁿ = a^m+n = a^n+m = aⁿ. a^m = y . x

Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari

G, sehingga G ={na | n ∈ Z}.

Ambil x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈ Z.

x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y + x

Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.

Lemma 1 (Algoritma Pembagian di Z)

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara tunggal bilangan bulat q dan r sehingga

n = mq + r        dan 0  r < m

Teorema 2

Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik

Akibat 1

Subgrup-subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat.

Teorema 3

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dinangun oleh a. Misalkan bG, dan misalkan b=a^s. Maka b membangun subgrup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.

Akibat 2

Jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah a^r dimana r dan n relatif prim, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar (pst) dari n dan r adalah 1.

Kita dapat memanfaatkan teorema, lemma, dan akibat di atas untuk mempermudah mencari pembangun, subgrup, dan membuat diagram lattice dari grup siklik

Contoh

Mari kita temukan pembangun, subgrup, dan membuat diagram lattice dari Z₈ terhadap operasi perkalian.

Kita ketahui anggota dari Z₈ adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Sehingga pembangun dari Z₈ adalah 1, 3, 5, 7 (karena pembagi sekutu terbesar  dari (1,8), (3,8), (5,8), (7,8) adalah 1)

• Kemudian kita akan mencari semua subgrup yang sejati dan tak trivial, kita mulai dari 2

<2> = {0, 2, 4, 6} adalah subgrup yang berorder 4, memiliki pembangun yang berbentuk h2, dimana h relatif prim dengan 4, yakni h = 3, sehingga h2 = 6.

Elemen 4 <2> membangun {0, 4}.

• Setelah kita dapatkan subgrup dari Z₈, maka kita dapat membuat diagram latticenya